FinanceとHPCの備忘録

Quantitative finance/High Performance Computingに関して学んだことのメモです。Derivative Pricing/HPC/CUDA/OpenCL

CMSとコンベクシティ調整について

今回はCMSの評価によく使用されるReplication methodについて。
原論文は以下の通り。
https://www.deriscope.com/docs/Hagan_Convexity_Conundrums.pdf

CMSスワップレートを原資産とするため、これをLIBORを原資産とするキャップやフロアと同様にフォワード測度で評価しようとすると、スワップ測度でマルチンゲールになるスワップレートにドリフト項が生じる。そのため、CMSの評価にはこのドリフト項を調整するコンベクシティ調整を行う必要がある。
このコンベクシティ調整には以下の2通りの手法が存在する。

  • ATMボラを使用した解析解
  • スワップションによる静的Replication手法

ATMボラによる調整は計算が非常に軽くジョンハルのフィナンシャルエンジニアリングにも掲載されている古い手法である。対してReplicationによる調整は多くのスワップションを評価する必要があるため計算が重いが、ボラティリティスマイルを勘案することが可能で実務上でメジャーな手法となっている。そのため本記事ではReplication手法をメインに紹介する。

スワップ取引の無裁定条件より、スワップレートR_s(t)は割引債DFを使用して以下のように書ける。
R_s(t)=\frac{DF(t;s_0)-DF(t;s_n)}{A(t)}
L(t)=\sum_{j=1}^n \alpha_(j)DF(t;s_j)
ここで、s_0,s_nスワップの開始日、最終日を示し、A(t)はアニュイティと呼ばれる。
スワップの満期が\tauCMSキャップレットのペイオフ支払時期がt_pのとき、ペイオフ(R_s(\tau)-K))^{+}DF(\tau;t_p)となる。
よって求めたいPVは
V(0)=L(0)E[(R_s(\tau)-K))^{+}DF(\tau;t_p)]
ここではフィルトレーションは省略する。
アニュイティがニュメレールのときにマルチンゲールとなるようなスワップ測度のもとでは下記が満たされる。
E [DF(\tau;t_p)/L(\tau)]=DF(0;t_p)/L(0)
よって
V(0)=DF(t_p)E[(R_s(\tau)-K))^{+}\frac{DF(\tau;t_p)/L(\tau)}{DF(0;t_p)/L(0)}]
より、
V(0)=DF(t_p)E[(R_s(\tau)-K))^{+}]+DF(t_p)E[max(R_s(\tau)-K,0)(\frac{DF(\tau;t_p)/L(\tau)}{DF(0;t_p)/L(0)}-1)]
となる。
ここで、第1項は解析的に解くことができ、第2項はコンベクシティ調整項となる。

続いてコンベクシティ調整項の評価のためには、DFとアニュイティの比を何らかパラメトリックな形に表現する必要がある。ここでEURでは一般的なCashで決済が行われるCash-settled-Swaptionを考えると、この形式では本来ゼロレートから計算される割引率がスワップレートによって近似的に計算されるものとして定義される。よって
DF(\tau;t_p)/L(\tau)=G(R_s(\tau))
G(R_s)=\frac{R_s}{(1+R_s/q)^\delta}\frac{1}{1-\frac{1}{(1+R_s/q)^n}}
となる。

次に静的Replicationの公式より
f'(K)[R_s-K]^{+}+\int_{K}^{\infty}[R_s-x]^{+}f''(x)dx=f(R_s)1_{R_s>K}
f(x)=[x-K](\frac{G(x)}{G(R_s^0)}-1)
これにより、CMSのコンベクシティ調整項をスワップションのストライクでの積分で表現することができた。

最後にG(x)を1次のテイラー展開することで、f(x)の2階微分が一定値となるので、Caplet全体の価値は
V(0)=DF(0;t_p)/L_0 C(K)+G'(R_s^0)[(K-R_s^0)C(K)+2\int_{K}^{\infty}C(x)dx]
ここでC(K)スワップションの価値である。

積分項により、ストライク全体のスワップションを評価するため、ボラティリティのスキューやスマイルをSVやLVを使用して反映させることが可能となる。

まとめ
このReplication手法によりスキュー・スマイルを勘案したコンベクシティ調整が可能となり、実務では広く取り入れられた手法である。
ただし、実装においては下記の課題があり、様々な対処が行われている。
・高ストライクにおけるスワップション評価の安定性
・数値積分の計算コスト